Encontrar raízes pelo método de Newton-Raphson e por métodos "tradicionais" [Cálculo Numérico]

a)      f(x) = e^-x – lnx

Encontre pelo método de Newton-Raphson, a raiz aproximada das funções a seguir:

a) f(x) = x2 + 7

Nessa primeira função, não é necessário usar o método de Newton-Raphson, vejamos o porquê:

x²+7= 0
x²=-7

x= √(-7)

E sabemos que raiz quadrada de número negativo não pertence ao conjunto dos reais
 √(−7) ∉ R

                                 b) f(x) = (x - 2)4

Nessa segunda função, também não é necessário o uso do método de Newton-Raphson, vejamos o porquê:

(x - 2)^4 =0

Qualquer número elevado a um número par, será obrigatoriamente positivo no conjunto do Reais, portanto:

x-2=0
x=2

 Acima (letras (a) e (b)), conseguimos demonstrar que não é necessário o uso do método de Newton-Raphson em diversas funções, agora temos um exemplo de como usar corretamente tal método.

c) Dada a função f(x) = e^(-x) – ln(x) , Encontre o intervalo que temos raiz, analise se o intervalo escolhido tem apenas uma raiz e após isso use o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com precisão de três casas decimais. Justifique todas as respostas.

1º passo: Análise do gráfico

Observamos que a raiz está no intervalo [1;1,5]


2º passo: Pesquisa das raízes

Pego os valores encontrados a partir do gráfico e "jogo" nas funções da seguinte forma:

f(1) = e^(-1) – ln(1)
f(1,5) = e^(-1,5) – ln(1,5)
temos que
f(1) > 0
f(1,5) < 0

Podemos obter tais resultados visualmente a partir do gráfico, porem “jogando” na função, temos que quando os sinais trocam o teorema de Bolzano nos comprova que há pelo menos uma raiz no intervalo.

Agora temos que justificar matematicamente se há realmente uma só raiz no intervalo

f(x) = e^(-x) – ln(x)

f’(x) = -e^(-x) – (1/x)
f’(x) = - (e^(-x) + (1/x))
f’(x) <0

f’(1) <0
f’(1,5) <0

Como a derivada  é sempre negativa, obviamente no intervalo [1;1,5] também será negativa e não vai alterar o sinal, portanto tem uma só raiz.

3º passo: Newton-Raphson - chute inicial

Você pode usar o número que quiser para o chute inicial, porém o mais sensato é usar a média aritmética do intervalo para que o numero de iterações não seja muito grande, facilitando assim nossos calculos

(1+1,5)/2 = 1,25

Xn= Raiz aproximada
F(x) = função inicial
F’(x) = derivada da função inicial
Xn+1 = ( Xn- (f(x)/f’(x))

Nº de iterações	Xn	F(x)	F’(x)	Xn +1
0	1,25	0,063	-1,085	1,308
1	1,308	0,001	-1,034	1,309
2	1,309	0,000

A raiz  é 1,309